Có rất nhiều ví dụ và những ứng dụng của nhóm. Như giới thiệu ở trên về nhóm các số nguyên Z với phép toán nhóm là phép cộng. Nếu thay phép cộng bằng phép nhân sẽ thu được nhóm phép nhân. Những nhóm này là các ví dụ quan trọng đầu tiên trong đại số trừu tượng.

Có nhiều lĩnh vực toán học khác ứng dụng lý thuyết nhóm. Các đối tượng toán học thường được kiểm tra bằng nhóm kết hợp với chúng và nghiên cứu tính chất của nhóm tương ứng. Ví dụ, Henri Poincaré thiết lập nên ngành tô pô đại số bằng giới thiệu nhóm cơ bản.[35] Bằng sự kết nối này, các tính chất tô pô như lân cận và liên tục chuyển thành các tính chất nhóm.i[›] Ví dụ, các phần tử của nhóm cơ bản được biểu diễn bằng các vòng tròn. Ảnh thứ hai bên phải chỉ ra một số vòng trên mặt phẳng trừ đi một điểm. Vòng xanh coi như là không đồng luân (và do vậy không liên quan), bởi vì nó có thể liên tục thu nhỏ thành một điểm. Sự có mặt của một lỗ ngăn cản các vòng màu cam co lại thành một điểm. Nhóm cơ bản của mặt phẳng với một điểm loại trừ trở thành tuần hoàn vô hạn, sinh bởi các vòng cam (hoặc bởi bất kỳ vòng nào quay vòng một lần xung quanh lỗ). Theo cách này, nhóm cơ bản xác định ra lỗ.

Trong những ứng dụng gần đây, cũng có sự tác động ngược trở lại để thúc đẩy xây dựng hình học bằng nền tảng lý thuyết nhóm.j[›] Theo lối tương tự, lý thuyết nhóm hình học áp dụng các khái niệm hình học, như nghiên cứu các nhóm hypebolic.[36] Những nhánh xa hơn áp dụng nhóm nhiều nhất bao gồm hình học đại số và lý thuyết số.[37]

Ngoài những ứng dụng lý thuyết kể trên, có nhiều ứng dụng thực tế cho những lĩnh vực khoa học khác. Tinh thể học dựa trên sự tổ hợp của cách tiếp cận lý thuyết nhóm trừu tượng với những hiểu biết thuật toán miêu tả trong lý thuyết nhóm tính toán, đặc biệt khi áp dụng vào nhóm hữu hạn.[38] Các ngành khoa học khác như vật lý học, hóa học và khoa học máy tính cũng hưởng lợi từ lý thuyết này.

Các số

Nhiều hệ thống số, như các số nguyên và số hữu tỉ thể hiện bản chất cấu trúc nhóm một cách tự nhiên. Trong một số trường hợp, như đối với số hữu tỉ, cả phép cộng và phép nhân đều làm xuất hiện cấu trúc nhóm. Những hệ thống số này là tiền tổ của những cấu trúc đại số tổng quát hơn gọi là vành và trường. Những khái niệm đại số trừu tượng hơn như mô đun, không gian vectơ và đại số trên một trường cũng tạo thành nhóm toán học.

Số nguyên

Nhóm các số nguyên Z dưới phép cộng, ký hiệu (Z, +), đã được miêu tả ở trên. Số nguyên, cùng với phép nhân thay vì phép cộng, (Z, •) không tạo thành một nhóm. Bởi vì chỉ có tiên đề đóng, tính kết hợp và phần tử đơn vị là thỏa mãn, còn tiên đề phần tử nghịch đảo thì không: ví dụ, a = 2 là một số nguyên, nhưng nghiệm duy nhất cho phương trình a • b = 1 trong trường hợp này là b = 1/2, là số hữu tỉ không phải là số nguyên. Do không phải mọi số nguyên Z có phần tử nghịch đảo (theo phép nhân).k[›]

Số hữu tỉ

Mong muốn cho tồn tại phần tử nghịch đảo đối với phép nhân gợi ra xem xét trường hợp đối với các số hữu tỉ

a b . {\displaystyle {\frac {a}{b}}.}

với a, b là các số nguyên và b khác 0.l[›] Tập hợp các số hữu tỉ này ký hiệu là Q. Vẫn còn một cản trở nhỏ cho các số hữu tỉ (Q, •), cho phép nhân trở thành một nhóm: bởi vì số hữu tỉ 0 không có phần tử nghịch đảo đối với phép nhân (vì không tồn tại x sao cho x • 0 = 1), (Q, •) vẫn chưa là một nhóm.

Tuy vậy, tập hợp mọi số hữu tỉ khác 0 Q \ {0} = {q ∈ Q | q ≠ 0} tạo thành nhóm Abel dưới phép toán nhân, ký hiệu là (Q \ {0}, •).m[›] Các tiên đề kết hợp và phần tử đơn vị thỏa mãn theo như tính chất của các số nguyên. Đòi hỏi của tiên đề đóng vẫn thỏa mãn sau khi bỏ phần tử 0, bởi vì tích của hai số hữu tỉ khác 0 không bao giờ bằng 0. Cuối cùng phần tử nghịch đảo của a/b là b/a, do vậy tiên đề nghịch đảo được thỏa mãn.

Số hữu tỉ (gồm cả 0) cũng tạo thành một nhóm dưới phép cộng. Khi bao gồm cả phép cộng và phép nhân tạo thành một cấu trúc phức tạp hơn gọi là vanh—và nếu phép chia là có thể, như ở trong Q—sẽ thu được cấu trúc trường, cấu trúc có vị trí trung tâm trong ngành đại số trừu tượng. Do vậy các mệnh đề của lý thuyết nhóm thuộc về một phần của những cấu trúc này.n[›]

Đồng dư

Số giờ trên đồng hồ tạo thành một nhóm sử dụng phép cộng theo mô đun 12. Ở đây 9 + 4 = 1

Trong phép đồng dư, ban đầu cộng hai số nguyên với nhau sau đó lấy tổng chia cho một số nguyên, số nguyên này gọi là mô đun. Kết quả của phép cộng mô đun là phần dư của phép chia đó. Đối với mô đun n bất kỳ, tập hợp các số nguyên từ 0 tới n−1 tạo thành một nhóm dưới phép cộng mô đun: phần tử nghịch đảo của a là n−a, và 0 là phần tử đơn vị. Nhóm này tương tự từ phép cộng các số giờ trên mặt đồng hồ: nếu kim giờ ở vị trí số 9 và quay thêm 4 tiếng, nó chỉ vào số 1 như thể hiện trên hình. Tức là 9 + 4 bằng 1 "mô đun 12" hay viết thành công thức,

9 + 4 ≡ 1 mô đun 12.

Nhóm các số nguyên mô đun n ký hiệu là Zn hoặc Z/nZ.

Đối với bất kỳ số nguyên tố p, cũng tồn tại một nhóm nhân các số nguyên mô đun p.[39] Phần tử của nó gồm các số nguyên từ 1 tới p−1. Phép toán nhóm là phép nhân mô đun p. Tức là lấy tích thông thường chia cho p và phần dư của phép chia này là kết quả của phép nhân mô đun. Ví dụ, nếu p = 5, tồn tại một nhóm với bốn phần tử 1, 2, 3, 4. Trong nhóm này, 4 • 4 = 1, bởi vì tích thông thường bằng 16 trong phép nhân này sẽ bằng 1, hay khi chia nó cho 5 thu được phần dư là 1. 16 − 1 = 15, ký hiệu là

16 ≡ 1 (mod 5).

Tính nguyên tố của p đảm bảo rằng tích của hai số nguyên trong nhóm sẽ không bao giờ chia hết cho p, từ đó ám chỉ rằng tập hợp này là đóng dưới phép nhân mô đun.o[›] Phần tử đơn vị của nhóm là 1, như đối nhóm phép toán nhân thông thường, và tính kết hợp được thỏa mãn do tính chất của phép nhân các số nguyên. Cuối cùng, tiên đề nghịch đảo đòi hỏi rằng đối với một số nguyên a không là ước của p, tồn tại một số nguyên b sao cho

a • b ≡ 1 (mod p), hay hiệu a • b − 1 chia hết cho p.

Có thể tìm phần tử nghịch đảo b thông qua đẳng thức Bézout và vì ước số chung lớn nhất gcd(a, p) bằng 1.[40] Trong trường hợp p = 5 ở trên, phần tử nghịch đảo của 4 là 4, của 3 là 2, do 3 • 2 = 6 ≡ 1 (mod 5). Từ đó mọi tiên đề nhóm được thỏa mãn. Thực sự là ví dụ này giống với nhóm (Q\{0}, •) ở trên: nó chứa chính xác các phần tử trong Z/pZ có phần tử nghịch đảo trong phép nhân.[41] Các nhóm này được ký hiệu là Fp×. Chúng là các thành phần quan trọng trong lý thuyết mật mã hóa khóa công khai.p[›]

Nhóm xiclic

Nghiệm phức của căn đơn vị bậc 6 tạo thành một nhóm xiclic. z là phần tử nguyên thủy, trong khi z2thì không bởi vì lũy thừa lẻ của z không là lũy thừa của z2.

Nhóm xiclic là nhóm mà các phần tử là lũy thừa của một phần tử đặc biệt a.[42] Trong ký hiệu phép nhân, các phần tử của nhóm là:

..., a−3, a−2, a−1, a0 = e, a, a2, a3,...,

với a2 có nghĩa là a • a, và a−3 thay cho a−1 • a−1 • a−1=(a • a • a)−1 v.v.h[›] Phần tử a gọi là phần tử sinh hay phần tử nguyên thủy của nhóm. Trong ký hiệu phép cộng, sự đòi hỏi cho một phần tử trở thành phần tử nguyên thủy yêu cầu là mỗi phần tử trong nhóm có thể viết thành

..., −a−a, −a, 0, a, a+a,...

Trong nhóm Z/nZ giới thiệu ở trên, phần tử 1 là nguyên thủy, do vậy những nhóm này là xiclic. Quả thực, mỗi phần tử có thể biểu diễn thành tổng mà tất cả các số hạng bằng 1. Bất kỳ nhóm xiclic với n phần tử là đẳng cấu với nhóm này. Một ví dụ thứ hai cho nhóm xiclic là nhóm các căn phức bậc n của đơn vị, xác định bởi số phức z thỏa mãn zn = 1. Những số này được minh họa là đỉnh của một đa giác đều có n đỉnh tô màu lam như hình bên với n = 6. Phép toán nhóm là phép nhân các số phức. Trong hình bên, nhân với z tương ứng với quay ngược chiều kim đồng hồ một góc 60°.[43] Sử dụng trong một số lý thuyết trường, có thể chứng minh được nhóm Fp× là xiclic: ví dụ, nếu p = 5, 3 là phần tử sinh do 31 = 3, 32 = 9 ≡ 4, 33 ≡ 2, và 34 ≡ 1.

Một số nhóm xiclic có vô hạn các phần tử. Trong các nhóm này, đối với mỗi phần tử khác 0 a, mọi lũy thừa của a là khác nhau; mặc dù tên gọi "nhóm xiclic" (nhóm tuần hoàn), lũy thừa của các phần tử không lặp lại tuần hoàn. Nhóm xiclic vô hạn là đẳng cấu với nhóm (Z, +), nhóm các số nguyên với phép cộng như đã giới thiệu ở trên.[44] Vì hai nhóm đã giới thiệu đều là các nhóm giao hoán (nhóm Abel), cho nên các nhóm xiclic cũng là nhóm Abel.

Việc nghiên cứu các nhóm Abel sinh hữu hạn là khá kỹ lưỡng, bao gồm "định lý cơ bản về nhóm Abel sinh hữu hạn; và phản ánh trạng thái này với nhiều khái niệm nhóm liên quan như trung tâm và giao hoán tử, miêu tả sự mở rộng cho những nhóm phi Abel.[45]

Nhóm đối xứng

Nhóm đối xứng là những nhóm chứa tính đối xứng của các đối tượng toán học nhất định—có thể về bản chất hình học của chúng, như nhóm đối xứng của hình vuông đã giới thiệu ở trên, hoặc về bản chất đại số, như phương trình đa thức và các nghiệm.[46] Về mặt khái niệm, có thể coi lý thuyết nhóm như là ngành nghiên cứu tính đối xứng.t[›] Sự đối xứng trong toán học làm đơn giản hóa rất nhiều trong việc nghiên cứu các đối tượng hình học và giải tích. Một nhóm được nói là tác dụng lên một đối tượng toán học X nếu mỗi phần tử của nhóm thực hiện một số phép toán trên X mà tương thích với luật nhóm. Trong ví dụ nằm ở ngoài cùng bên phải ở bảng dưới, một phần tử bậc 7 của nhóm tam giác (2,3,7) tác dụng lên phép lát gạch bằng cách hoán vị các tam giác cong tô màu nổi bật (và cũng cho những tam giác khác). Bằng tác dụng nhóm, thành phần của nhóm được liên hệ với cấu trúc của đối tượng mà nó tác dụng lên.

Phép quay và lật ngược tạo thành nhóm đối xứng của đa diện lớn 20 mặt.

Trong lĩnh vực hóa học, như tinh thể học, nhóm không gian và nhóm điểm miêu tả tính chất đối xứng phân tử và đối xứng tinh thể. Những đối xứng này hàm chứa các hành xử vật lý và hóa học của các tinh thể, và lý thuyết nhóm cho phép đơn giản hóa sự phân tích của cơ học lượng tử cho những tính chất này.[47] Ví dụ, lý thuyết nhóm được sử dụng để chứng tỏ rằng sự chuyển dịch quang học giữa những mức lượng tử nhất định không thể xảy ra đơn giản bởi vì có sự tham gia đối xứng của các trạng thái năng lượng.

Không chỉ nhóm có ích khi sử dụng để đánh giá đối xứng trong phân tử, nhưng chúng cũng tiên đoán một cách ngạc nhiên rằng thỉnh thoảng các phân tử cũng thay đổi tính đối xứng. Hiệu ứng Jahn-Teller là sự lệch cấu trúc phân tử ra khỏi đối xứng cao khi nó chấp nhận một trạng thái nền của đối xứng thấp hơn từ tập hợp các trạng thái nền khả dĩ có liên hệ với nhau bởi phép toán đối xứng đối với phân tử.[48][49]

Tương tự như vậy, lý thuyết nhóm giúp tiên đoán sự thay đổi tính chất vật lý xảy ra khi vật liệu trải qua giai đoạn chuyển pha, ví dụ, từ dạng tinh thể lập phương sang thành tinh thể tứ diện. Một ví dụ về điều này đó là ở vật liệu sắt điện, nơi sự thay đổi từ trạng thái lưỡng cực điện sang trạng thái sắt điện xảy ra ở nhiệt độ Curie và có liên hệ với sự thay đổi từ trạng thái lưỡng cực điện đối xứng cao xuống trạng thái sắt điện có đối xứng thấp hơn, đi kèm với nó là mode phonon mềm, loại mode giàn rung động trở về tần số 0 ở giai đoạn chuyển pha.[50]

Những hiệu ứng phá vỡ đối xứng tự phát đã được áp dụng ở trong lĩnh vực vật lý hạt cơ bản, nơi sự xuất hiện của nó có liên hệ với các boson Goldstone.

Buckminsterfullerene thể hiện đối xứng đa diện 20 mặt thông qua liên kết 2 hóa trị làm giảm đối xứng này thành đối xứng tinh thể pyrit (pyritohedral symmetry).	Amoniac, NH3. Nhóm đối xứng của nó có bậc 6, sinh bởi phép quay 120° và sự phản xạ.	Cubane C8H8 chứa đối xứng bát diện.	Ion phức Hexaaquacopper(II), [Cu(OH2)6]2+. So sánh với một hình dạng đối xứng hoàn hảo, phân tử này bị kéo giãn theo phương đứng một tỷ lệ 22% (hiệu ứng Jahn-Teller).	Nhóm tam giác (2,3,7), nhóm hypebolic, tác dụng lên phép lát mặt phẳng hypebolic.

Những nhóm đối xứng hữu hạn như nhóm Mathieu được ứng dụng trong lý thuyết mã hóa, mà đến lượt nó lại áp dụng vào lý thuyết hiệu chỉnh sai số trong việc truyền dữ liệu, và ở đầu đọc đĩa CD.[51] Một ứng dụng khác là lý thuyết Galois vi phân, mà hàm đặc trưng hóa có nguyên hàm của dạng cho trước, đem lại tiêu chuẩn giới hạn lý thuyết nhóm khi nghiệm của những phương trình vi phân xác định tốt.u[›] Các tính chất hình học mà vẫn duy trì sự ổn định dưới tác dụng của nhóm được nghiên cứu trong lý thuyết bất biến hình học.[52]

Nhóm tuyến tính tổng quát và lý thuyết biểu diễn

Hai vectơ (minh họa bên trái) nhân bởi ma trận (minh họa ở giữa và bên phải). Minh họa ở giữa biểu diễn cho phép quay theo chiều kim đồng hồ 1 góc 90°, trong khi cái ở ngoài cùng bên phải thể hiện sự kéo dãn tọa độ x bởi hệ số 2.

Nhóm ma trận chứa các ma trận cùng với phép nhân ma trận. Nhóm tuyến tính tổng quát GL(n, R) chứa mọi ma trận khả nghịch n x n với các phần tử thực.[53] Các nhóm con của nó được coi như là nhóm ma trận hay nhóm tuyến tính. Ví dụ về nhóm nhị diện đề cập ở trên có thể coi như là nhóm ma trận (có bậc rất nhỏ). Một nhóm ma trận quan trọng khác là nhóm trực giao đặc biệt SO(n). Nó miêu tả mọi phép quay khả dĩ trong không gian n chiều. Thông qua góc Euler, ma trận quay được sử dụng trong lĩnh vực đồ họa vi tính.[54]

Lý thuyết biểu diễn một mặt là ứng dụng của khái niệm nhóm nhưng mặt khác có vai trò quan trọng để hiểu ở mức sâu hơn đối với nhóm.[55][56] Nó nghiên cứu nhóm thông qua tác dụng nhóm trên những không gian khác. Một lớp rộng của phép biểu diễn nhóm là biểu diễn tuyến tinh, ví dụ nhóm tác dụng lên một không gian vectơ, như không gian Euclid 3 chiều R3. Biểu diễn của G trên một không gian vectơ thực n chiều là phép đồng cấu nhóm đơn giản

ρ: G → GL(n, R)

từ nhóm vào nhóm tuyến tính tổng quát. Theo cách này, phép toán nhóm, mà có thể cho một cách trừu tượng, diễn dịch phép nhân ma trận khiến nó dùng được đối với những tính toán cụ thể.w[›]

Một phép toán nhóm còn cho một ý nghĩa xa hơn khi nghiên cứu đối tượng mà nó tác dụng lên.x[›] Mặt khác, nó cũng cho thông tin về cấu trúc nhóm. Biểu diễn nhóm là một nguyên lý tổ chức trong lý thuyết nhóm hữu hạn, nhóm Lie, nhóm đại số và nhóm tô pô, đặc biệt là nhóm compact (cục bộ).[55][57]

Nhóm Galois

Nhóm Galois hình thành trong quá trình đi tìm nghiệm của phương trình đa thức dựa trên đặc điểm đối xứng của nghiệm.[58][59] Ví dụ, nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cho bởi công thức

x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}

Khi hoán vị dấu "+" và "−" trong công thức, hay tương đương với hoán vị hai nghiệm của phương trình có thể coi như là một phép toán nhóm (một cách rất đơn giản). Có những công thức tương tự cho phương trình bậc ba và bậc bốn, nhưng không tồn tại một công thức tổng quát cho phương trình bậc năm và bậc cao hơn.[60] Tính chất trừu tượng của nhóm Galois đi kèm với đa thức (đặc biệt là tính giải được) đưa ra một tiêu chuẩn cho những đa thức mà mọi nghiệm của nó có thể biểu diễn dưới dạng công thức chỉ bao gồm phép cộng, nhân và căn thức tương tự như công thức ở trên.[61]

Vấn đề này có thể giải quyết được bằng cách dịch chuyển nó sang lý thuyết trường và xem xét trường tách của đa thức. Lý thuyết Galois hiện đại tổng quát hóa những loại nhóm Galois ở trên thành các mở rộng trường và thiết lập lên—thông qua định lý cơ bản của lý thuyết Galois—mối liên hệ chính xác giữa nhóm và trường, hàm chứa một lần nữa sự quan trọng của nhóm trong toán học.